Teorema de Cook-Levin

Dados L  ∈  NP y una string x, construimos φ_x tal que x ∈ L ssi φ_x ∈  CNF-SAT.

Idea: Sea M una verificadora de L indiferente y con 2 cintas.

φ_x es un "patrón de trazas" de las corridas exitosas de M con input x y u (u certificado de x).

• supongamos x ∈ L
  → ∃ u ∈ {0, 1}ⁿ. M(x, u) = 1
   → existe una traza que representa la corrida exitosa de M(x, u)
  → usando u y la traza, se puede construir una asignacion z tal que φ_x(z) = 1
  → φ_x ∈  CNF-SAT
• supongamos φ_x ∈  CNF-SAT
  → existe z, φ_x(z) = 1
  → constuir u a partir de z
  → x ∈ L

• L  ≤ _p CNF-SAT, para cualquier L  ∈  NP
• Entonces CNF-SAT es NP-difícil
• Entonces CNF-SAT es NP-completo

3SAT

• una formula es en 3FNC si es en FNC y cada cláusula tiene como máximo 3 literales
• 3SAT = {⌊φ⌋ ∣ φ es en 3FNC y es satisfacible }

Idea: usar regla de la resolución al revés.

Uso de la NP completitud de 3SAT

• Se sospecha que P ≠ NP, o por lo menos que estar NP difícil es una garantia de dificultad aceptada hoy en día
• Teniendo un lenguaje, es más fácil mostrar una reducción desde 3SAT que desde cualquier lenguaje NP
• La forma de formulas en FNC-3 es conveniente.

INDSET es NP completo

INDSET = {⌊(G, k)⌋ ∣ ∃ S ⊆ N(G), ∣S∣ ≥ k, ∀ uv ∈ S, uv ∉ E(G)}

INDSET  ∈  NP porque el certificado es el conjunto S.

Mostramos 3SAT  ≤ _p INDSET.

Sea φ = ⋀ C_i una formula en FNC3. Sea m el número de cláusulas de φ, construimos un grafo G tal que ⌊φ⌋ ∈ 3SAT ↔ ⌊(G, m)⌋ ∈ INDSET.

Cada cláusula C de φ tiene ≤ 3 literales, entonces hay ≤ 7 asignaciones que la satisfacen.

Construimos para C un cluster de 7 nodos, marquamos cada uno con las asignaciones que satisfacen su cluster.

Conectamos dos puntos si pertenecen a clusters distintos y representan asignaciones inconsistentes (ie, 1 variables es asignada a 1 en un nodo y 0 en el otro).

Conectamos entre si todos los puntos de un mismo cluster.

• La transformación se puede hacer en tiempo polinomial.
• φ satisfacible
  → existe asignación z tal que φ(z) = 1
  → definir S los nodos de cada cluster que corresponden a la restriccion de z a las variables del cluster
  → hay m nodos no conectados entre si en G
• hay m nodos no conectados entre si en G
  → pertenecen a clusters distintos
  → las asignaciones parciales que esos nodos representan son consistentes
  → con ellas construimos z tal que φ(z) = 1
  → φ satisfacible

VERTEXCOVER es NP completo

Reducción descrita en Sipser, teorema 7.44.

Búsqueda vs decisión

Demostración:

• en el caso de SAT: si NP=P, construir una asignación para φ se hace en tiempo polinomial:
  1. probar si φ ∈  SAT, seguir si es el caso
  2. probar si φ(x₁←0) ∈  SAT, en ese caso fijar el primer bit de z a 0 y reemplazar x₁ por 0 en φ, en el caso contrario hacer lo mismo con 1
  3. seguir hasta tener una asignación completa para φ
• en el caso general, con L  ∈  NP, usar el hecho que la reducción que vimos es una reducción Levin, ie, se puede construir un certificado para x ∈ L a partir del certificado de φ_x en tiempo polinomial.

P vs NP y NP completitud

• 1956: Kurt Gödel escribe una carta a John von Neumann planteándole la posibilidad de decidir en tiempo polinomial si una formula de primer order tiene una prueba de longitud n
• 1971: Cook "The Complexity of Theorem Proving Procedures"
• 1972: Karp "Reducibility Among Combinatorial Problems"
• 1972: Miller and Thatcher, editors. "Complexity of computer computations". Plenum Press: proceedings de la conferencia donde se presentó el artículo de Karp frente a 200 investigadores en computación (según el deseo de Michael Rabin)
• 1971/3: Levin "Универсальные задачи перебора" (Universal search problems)

Como manejar problemas NP-completos

• Heuristicas: NP es acerca de todos los inputs posibles, mientras que en casos concretos los inputs pueden tener rasgos explotables (simplicidad, simetrías, variables interconectadas, etc.)
• Fijar parametros (parametrized complexity)
• Canjear exactitud por velocidad

EXP vs NEXP

Ejercicio: encontrar la definición equivalente con certificados.

Teorema:

Supongamos P=NP. Sea L ∈ NTIME(2^nc), y M una MT para L.

Sea L_pad = {x01^2∣x∣c ∣ x ∈ L}. Mostramos que L_pad ∈  NP:

• existe una MTND para L_pad: dado y, chequea si es de la forma $y = z 01^{2^{|z|}^c$. Si no, output 0.
• Correr M con input z por 2^∣z∣c pasos.
• El tiempo de corrida es polinomial en función de ∣y∣.

Entonces si P=NP, L_pad ∈ P y existe Mʹ deterministica que decide L_pad.

Entonces L ∈ EXP: para decidir si x ∈ L, lo padeamos con 01^2∣x∣c y vemos si esto pertenece a L_pad usando Mʹ.

El problema de la factorización

Existen problemas naturales que se sospecha estar en NP  \  P sin ser NP completos.

Factorización:

Dado n, m ∈ ℕ  tal que 1 ≤ m ≤ n, ¿ n tiene un factor d tal que 1 < d < m?

Se sospecha que FACTOR no está en P, ni es NP completo ni coNP completo.

Observación: el problema ¿ n ∈ ℕ  es un número compuesto? es una versión relajada de FACTOR y está en P (equivalentemente, PRIMES está en P).

Otros problemas en NP, sospechados de estar en NP  \  (P  ∪  NPC)

• isomorfirmo de grafos
  
• problema de la autopista con peaje (turnpike problem): dadas n(n − 1) / 2 distancias entre pares de puntos, ¿les corresponde alguna configuración de n puntos en una línea?

Teorema de Ladner

Idea: definir un problema tal que para ciertos inputs de tamaño n, el problema es resolver SAT (para que no este en P), y en otros inputs no hacer nada (para que no sea NP completo).

Prueba detallada adaptada de Arora y Barak

Referencias

• Lipton "The P=NP Question and Gödel’s Lost Letter" (Cap. 1)
• Unos problemas entre P y NP completitud