Contenido

• cálculos acotados por espacio
• clases PSPACE, NPSPACE
• relación con P, NP, EXPTIME
• problemas completos para clases espaciales
• clases espaciales sublineales (L, NL)

SPACE

Observación: como M decide L, M se detiene después de un número finito de pasos.

NSPACE

Observación: los caminos que no llegan a q_accept pueden ser infinitos.

Precaución

Trabajamos con cotas espaciales s: ℕ  ↦ ℕ  que son constructibles en espacio, ie:

• s(n) ≥ log(n)
• existe una MT que computa s(∣x∣) en espacio O(s(∣x∣)) dada x como input.

Simulación universal

Asumimos lo siguiente:

Se puede hacer una simulación universal de una máquina con k cintas de trabajo por una máquina con una sola cinta de trabajo, con sólo un gasto de espacio más grande por una constante multiplicativa.

Entonces, podemos asumir sin perdida de generalidad que hablamos de complejidad espacial con máquinas con solo 1 cinta de trabajo.

Space hierarchy theorem

Demo: a lo time hierarchy theorem.

Stearns, Hartmanis y Lewis, Hierarchies of memory limited computations 1965

Sipser Sección 9.1: Space hierarchy theorem

TIME y SPACE

En cada paso, una MT determinística puede descubrir cómo máximo un número constante de casillas nuevas, entonces:

Configuraciónes

Una configuración de una MT M es el contenido de todas las casillas no blancas de las cintas, las posiciones de sus cabezales y su estado.

Si una MT corre en espacio O(s(n)), entonces una configuración ocupa un espacio O(s(n)).

Grafo de configuraciones

Sea M una MT determinística o nondeterminística, x ∈ {0, 1}^*.

El grafo de configuraciones de M, llamado G_M, x, es un grafo dirigido cuyos nodos corresponden a todas las configuraciones posibles de M cuando el input es x.

G_M, x tiene un eje de la configuración C a la configuración Cʹ si Cʹ es alcanzable a partir de C en un paso según la(s) función(es) de transición de M.

Podemos siempre modificar M para que borre su cinta y ponga sus cabezales en posición inicial cuando acepta el input  →  hay sólo una configuración final C_accept.

Demo SPACE(s(n))  ⊆  TIME(2^O(s(n))):

Sea L ∈  SPACE(s(n)) y M una MT corriendo en espacio O(s(n)) decidiendo L. Consideramos el cálculo de M(x) con x input de longitud n.

Hay como máximo C_M(n) = 2^O(s(n)) configuraciones de M con input x, pero si M(x) repite una configuración entonces buclearía y nunca se detendría.

Entonces M con input x se detiene en C_M(n) = 2^O(s(n)) pasos.

Demo NSPACE(s(n))  ⊆  TIME(2^O(s(n))) por "reachability method". Sea M que decide L ∈ NPSPACE(s(n)):

• Generar el grafo de configuracion G_M, x en tiempo 2^0(s(n))
• Chequear en tiempo lineal en función del tamaño de G_M, x si C_accept es alcanzable a partir de C_start (por ej. depth-first search)

Definiciones clases espaciales

Ejemplo

3SAT  ∈  PSPACE

Dado input ⌊φ⌋, buclear enumerando todas las asignaciones de variables de φ y chequear el valor de φ(z_i).

Espacio usado para las asignacíones: polinomial (reutilizar para cada asignación nueva).

Espacio usado para el chequeo: polinomial (cuota espacial de un algoritmo determinístico en tiempo polinomial).

Generalización: NP  ⊆  PSPACE

Sea L ∈ NP.

Dado input x, buclear sobre todos los certificados posibles de x con respeto a L. Se puede reutilizar el espacio (polinomial) usado para alojar un certificado, para el certificado siguiente.

El chequeo de cada certificado se hace en tiempo determinístico polinomial en función de ∣x∣, entonces en espacio polinomial en función de ∣x∣.

PATH

PATH = {⌊G, s, t⌋ ∣ G es un grafo dirigido con camino de s a t}

Sea n la cantidad de nodos en el grafo:

• tamaño de un puntero para referirse a un nodo: log(n)
• tamaño de un contador para referirse a los sucesores de un nodo que ya encontramos: log(n)
• tamaño de un contador para guardar la longitud del camino visitado: log(n)
• explorar todos los caminos de longitud  < n posibles a partir de s, pasar al estado q_accept si encontramos t

PSPACE completitud

Usamos las mismas reducciones que para NP, ie, f corriendo en tiempo polinomial.

Un lenguaje PSPACE completo

SPACESAT = {⌊M, w, 1ⁿ⌋ ∣  M MTD, acepta w en espacio n}

• SPACESAT  ∈  PSPACE: se puede decidir si x ∈ SPACESAT con una máquina universal de Turing (que usa tanto espacio como M modulo una constante multiplicativa) que verifica que M acepta w sin usar más de n espacio
• Sea L  ∈  PSPACE: existe M que decide L usando espacio O(n^d). Para un x ∈ {0, 1}^* construimos f(x) = ⌊M, x, 1^nd⌋. Entonces L  ≤ _p SPACESAT.

Quantified Boolean Formulas

Una Quantified Boolean Formula es una formula proposicional con cuantificación (∀  y ∃ ) sobre sur variables booleanas.

Una QBF está en forma prenexa si tiene todos los cuantificadores primeros:

Q₁x₁Q₂x₂…Q_nx_n φ(x₁, x₂, …, x_n)

Asumimos que todas las variables están cuantificadas.

Una QBF es verdadera o falsa (todos los x_i son cuantificados).

Verdadera: ∀ x∃ y. (x ∧ y) ∨ (¬ x ∧ ¬ y)

Falsa: ∀ x∀ y. (x ∧ y) ∨ (¬ x ∧ ¬ y)

Se puede reescribir una QBF φ en una formula proposicional φʹ equisatisfacible, pero de tamaño exponencialmente más grande:

• ∀ x_iφ se reescribe en φ[x_i ← 0] ∧ φ[x_i ← 1]
• ∃ x_iφ se reescribe en φ[x_i ← 0] ∨ φ[x_i ← 1]

Una formula booleana es una QBF sin cuantificadores existenciales.

TQBF

TQBF = {⌊φ⌋ ∣  formulas booleanas cuantificadas verdaderas }

Stockmeyer y Meyer, Word problems requiring exponential time, 1973

TQBF  ∈  PSPACE

Describimos el algoritmo A para TQBF:

Sea n el número de variables del input ψ, y m su tamaño.

Escribimos ψ[x_i = b] para ψ con x_i reemplazado por b ∈ {0, 1}.

Si n = 0 se puede evaluar ψ en tiempo (y espacio) O(m).

Si n > 0:

• si ψ = ∀ x_iφ: return A(φ[x_i = 0]) && A(φ[x_i = 1])
• si ψ = ∃ x_iφ: return A(φ[x_i = 0]) || A(φ[x_i = 1])

Sea s_n, m el espacio usado para una llamada a A.

Una vez terminada una llamada recursiva a A, se puede reutilizar el espacio usado.

A usa O(m) espacio para escribir ψ[x_i = b].

s_n, m = s_{n − 1, m} + O(m) = O(n ⋅ m)

A necesita un espacio polinomial y decide TQBF.

TQBF es PSPACE hard

• Mostramos que L ≤ _pTQBF para cualquier L ∈  PSPACE.
• Sea M una MT decidiendo un lenguaje L y corriendo en espacio O(s(n)), y sea x ∈ {0, 1}ⁿ. La idea es construir una QBF de tamaño O(s²(n)) que es verdadera ssi M acepta x.
• Una configuración de M(x) es de tamaño m = O(s(n)).
• Lemma: se puede construir una formula booleana φ_M, x de tamaño O(m) tal que para C, Cʹ ∈ {0, 1}^m, φ_M, x(C, Cʹ) = 1 ssi C y Cʹ codifican configuraciones sucesivas en el grafo de configuraciones de M(x)
• Construimos ψ una QBF de tamaño polinomial tal que ψ es verdadera ssi existe un camino desde C_start hasta C_accept

• Construimos una secuencia de QBF ψ_i(C, Cʹ) verdadera ssi existe camino de longitud 2ⁱ de C a Cʹ
• Obs 1: ψ₀ = φ_M, x , ψ = ψ_m
• Obs 2: hay un camino de tamaño máximo 2ⁱ de C a Cʹ ssi hay un camino de tamaño máximo 2^i − 1 de C a Cʺ y un camino de tamaño máximo 2^i − 1 de Cʺ a Cʹ.
• Tenemos ganas de definir:
  ψ_i(C, Cʹ) = ∃ Cʺ ψ(C, Cʺ) ∧ ψ(Cʺ, Cʹ)
  
• Sería correcto pero ψ_m de tamaño O(2^m).
• ψ_i(C, Cʹ) = 
  ∃ Cʺ ∀ D ∀ E ((D = C ∧ E = Cʺ) ∨ (D = Cʺ ∧ E = Cʹ))
   → ψ_i − 1(D, E)
• ∣ψ_i∣ ≤ ∣ψ_i − 1∣ + O(m)
• ∣ψ_m∣ ≤ O(m²)
• ¡Convertimos ψ_m en forma prenexa en tiempo polinomial!

Observación

• la demostración anda para L ∈ NPSPACE
• entonces PSPACE=NPSPACE

Teorema de Savitch (1970):

Referencias

• Arora y Barak Sección 4.2.2
• Stearns, Hartmanis y Lewis. Hierarchies of memory limited computations. In FOCS, pages 179–190. IEEE, 1965.
• Sipser Sección 9.1: Space hierarchy theorem
• Stockmeyer y Meyer. Word problems requiring exponential time. In STOC, pages 1–9. ACM, 1973.
• Savitch. Relationships between nondeterministic and deterministic tape complexities. J. Comput. Syst. Sci., 4:177–192, 1970.