Complejidad Computacional Take Home 1

A entregar durante la clase del jueves 11 de octubre 2012.

1. ¿Porqué podemos decir que no cambia nada tener máquinas de Turing con 1 o n registros internos con respeto al poder computacional?

2. Sea L₁, L₂ ⊆ {0, 1}. Llamamos L₁ ∘ L₂ el lenguaje formado por la concatenación de strings de L₁ y L₂:
   L₁ ∘ L₂ = {x ∘ y ∣ x ∈ L₁, y ∈ L₂}
   Demostrar o infirmar las siguientes proposiciones:
   1. Si L₁ y L₂ están en NP entonces L₁ ∘ L₂ también
   2. Si L₁ y L₂ están en PSPACE entonces L₁ ∘ L₂ también
   3. Si L₁ ∘ L₂ está en P, entonces L₁ y L₂ también
3. El problema de la autopista con peaje (turnpike problem) es el siguiente: "dadas n(n − 1) / 2 distancias entre pares de puntos, ¿les corresponde alguna configuración de n puntos en una línea?".
   • Definir un lenguaje que corresponde a ese problema.
   • Mostrar que ese lenguaje está en NP.

4. (Sipser 7.21) DOUBLESAT = {⌊φ⌋ ∣ φ tiene al menos dos asignaciones satisfactoras } Mostrar que DOUBLESAT es NP completo.

5. En la demostración del teorema de Cook-Levin del libro de Arora y Barak, se construye una fórmula CNF cuyas variables codifican una serie de instantaneos y que es verdadera si, y solamente si, esos instantaneos representan una computación valida. Una parte de esa formula chequea cada instantaneo z con respeto al último instantaneo cuando el cabezal de escritura de la máquina estaba en la misma posición que estaba para z. ¿Qué debe ser chequeado y porqué? ¿Cómo se determina con respeto a cual instantaneo hay que hacer el chequeo?