Pedro Sánchez Terraf

CIEM-FaMAFUniversidad Nacional de Córdoba

Teoría de Conjuntos 2022

[Programa Especialidad 1 2022] [Programa Curso de posgrado 2022]

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[Sala de Meet de clases]

Clases grabadas y otros materiales

Antes de ver cada clase, recomiendo enfáticamente leer los respectivos comentarios que figuran abajo. Espero que puedan entender el audio de las clases; el aula no estaba acustizada apropiadamente y su reverberancia interfería la grabación.

El paginado y la numeración de Secciones y otros ítems del apunte se refieren a la versión del día correspondiente. $\mathopdecls$

Índice

  1. [14/03De Cantor a los axiomasExtensionalidad, Pares y Separación.
  2. [17/03Predicados y clases; relaciones y funciones de clase.
  3. [21/03Los ordinales ($\Ord$), caracterización de $\leq$$\Ord$ está bien ordenado. Números naturales ($\omega$).
  4. [28/03Inducción en los naturalesTeorema de Recursión en $\omega$.
  5. [31/03Rigidez de los ordinalesOrdinales como tipos de buenos órdenes.
  6. [04/04Suma y producto de ordinalesInducción y Recursión Transfinitas.
  7. [07/04Asociatividad de suma (por Inducción). Funciones normalesCardinalidad. Teorema de Hartogs.
  8. [11/04Suma y producto cardinal. Teorema de HessenbergAxioma de Elección $(\AC)$ y equivalentes.
  9. [18/04Cardinal de uniones. CofinalidadLema de Factorización. Formalización en computadora.
  10. [21/04$\cf$ proyecta sobre los cardinales regularesTeorema de König $\kappa \lt \kappa^{\cf(\kappa)}$.
  11. [25/04Características cardinales: $\bound$ y $\mad$Teorema de Solomon $\bound\leq\mad$ y Teorema de Malliaris-Shelah $\mathfrak{p}=\mathfrak{t}$.
  12. [28/04Nociones de Forzamiento y Lema Rasiowa-SikorskiAxioma de Martin $(\MA)$ y forcing de Hechler.
  13. [02/05Filtros sobre conjuntosEl filtro $\Club(\kappa)$.
  14. [05/05Lema de Fodor. Cardinales de MahloEl problema de la medida.
  15. [09/05Cardinales mvr menores que el continuoCardinales medibles son inaccesibles.
  16. [12/05Clausura transitiva de relaciones de clase Inducción y Recursión Bien Fundadas.
  17. [16/05Función rango. Los conjuntos bien fundados ($\WF$)Jerarquía acumulativa de conjuntos.
  18. [19/05Modelos, fórmulas y satisfacciónModelos de fragmentos de $\ZFC$.
  19. [23/05Relativización de fórmulasPruebas de consistencia relativa. Absolutez.
  20. [26/05Separación y Reemplazo en clases transitivasRelativización de relaciones y funciones de clase.
  21. [30/05Relativización (continuación)$\WF$ satisface $\ZFC$. Absolutez de fórmulas $\Delta_1$.
  22. [02/06$H(\kappa)$ es modelo de $\ZFC$ salvo Partes$H(\kappa)\models \ZFC$ si $\kappa$ es inaccesible.
  23. [06/06Teorema de Compacidad. Colapso de MostowskiUltraproductos. Teorema de Łoś.
  24. [09/06Ultrapotencias de $V$Punto crítico de la incrustación elemental.
  25. [13/06Bisimilitud. Axioma de Antifundación (AFA)Universos de Rieger. Consistencia relativa de AFA.
  26. [16/06Principio de ReflexiónParadoja de Skolem; $\ZFC$ no es finitamente axiomatizable.
  27. [23/06Árboles. El problema de SuslinConstrucción de un árbol de Suslin dada una recta.

Clases

14 de marzo

[Primera parte] [Segunda parte] [Versión del día del apunte]

Para esta primera clase tomé muchos elementos del paper Cantor and Continuity de A. Kanamori. Otra buena referencia básica, aparte de las citadas en el apunte, es el libro An Introduction to Set Theory de Bill Weiss. Pueden encontrar una breve discusión de la literatura recomendada en mi blog. Por último, agrego un artículo largo pero interesante en Medium, con fotos y parte de la correspondencia (¿biunívoca?) entre Cantor y Dedekind.

Recomiendo que se amiguen con los axiomas de $\ZFC$ (Sección 0.1 del apunte) y que miren los ejercicios de la Sección 0.2. En las notas de Cignoli encontrarán un montón de ejercicios básicos.

17 de marzo

[Video] [Pizarra] [Versión del día del apunte]

Este día estudiamos predicados, y relaciones y funciones de clase, que nos ayudarán a manejar de una manera más intuitiva la parte sintáctica (relativa al formalismo) de la Conjunteoría. Con estas herramientas, reinterpretamos el Axioma de Separación, presentamos el de Reemplazo y probamos la existencia de productos cartesianos (sin usar el Axioma de Partes; el Ejercicio x0.14 pide que lo hagan con Partes pero sin Reemplazo).

Durante los últimos minutos introdujimos nociones básicas de la matemática discreta de relaciones: bien fundadas, preórdenes, órdenes parciales y totales, estrictos y laxos, buenos órdenes. Discutimos ejemplos elementales, y notamos la posibilidad de extender dichos conceptos a las relaciones de clase.

La próxima clase trabajaremos con la Sección 1.1 sobre ordinales. Estos primeros temas están incompletos en el apunte porque, justamente, tienen pruebas muy detalladas en el libro de Kunen (en sus secciones I.4 a I.7), que es la referencia principal.

21 de marzo

[Primera parte] [Segunda parte] [Versión del día del apunte]

En esta clase probamos que la clase $\Ord$ de los ordinales está bien ordenada por $\in$, definimos la clase $\omega$ de los números naturales y enunciamos el Axioma de Infinito.

24 de marzo

Día de la memoria por la verdad y la justicia.

28 de marzo

[Primera parte] [Segunda parte] [Versión del día del apunte]

En esta clase probamos el Principio de Inducción Ordinaria sobre $\omega$; y usando Infinito mostramos que dicha clase es un conjunto. Además probamos que las definiciones recursivas “primitivas” pueden formalizarse en la Conjunteoría, y vimos detalles sobresalientes de esa prueba que serán de importancia para las generalizaciones.

31 de marzo

[Primera parte] [Segunda parte] [Versión del día del apunte]

En esta clase probamos (con algunos tropiezos en la segunda parte) que todo buen orden es isomorfo a un ordinal. Al parecer, el tropiezo fundamental fue suponer de entrada que $c\in G$ (era un elemento bueno), cuando sólo era necesario usar que $c\mathrel{R}a$. Esta prueba aparece resumida en el libro de Kunen, que no entendí inmediatamente. La versión del apunte es una presentación alternativa de la que aparece en su Foundations; les sugiero que Uds las comparen a ver cuál es su opinión.

4 de abril

[Primera parte] [Segunda parte] [Versión del día del apunte]

En esta clase definimos el orden lexicográfico, el producto ordinal y la suma ordinal de órdenes totales. Pasando a tipos de isomorfismos, se definieron suma y producto de ordinales.

A continuación probamos el Principio de Inducción Transfinita (sobre $\Ord$) y enunciamos el de Recursión Transfinita. Luego presentamos la suma ordinal como una definición recursiva y usándola probamos por inducción que la suma ordinal es estrictamente creciente en el segundo argumento.

7 de abril

[Primera parte] [Segunda parte] [Versión del día del apunte]

En la primera parte probamos que las funciones monótonas que preservan supremos límite también preservan supremos arbitrarios (no vacíos). Una vez visto esto, probamos por inducción que la suma ordinal es asociativa, y enunciamos las propiedades sobresalientes de las funciones normales.

Juan Lascano observó que el Principio de Inducción Transfinita tal como lo enunciamos no es suficiente para justificar la demostración anterior; hay que cambiar el caso límite por la hipótesis más débil $\lambda \sbq X \implies \lambda \in X$ —pero esto es exactamente lo que usamos durante la clase anterior en nuestra justificación de que $\Ord \sbq X$, de manera que la misma prueba vale.

En la segunda parte definimos las nociones básicas de cardinalidad y probamos el Teorema de Hartogs, que asegura la existencia de cardinales incontables.

11 de abril

[Primera parte] [Segunda parte] [Versión del día del apunte]

En la primera parte definimos la suma y producto de cardinales y probaremos su “trivialidad”, dada por el teorema de Hessenberg que dice que $\kappa\cdot\kappa = \kappa$ para todo $\kappa\in\Card$ infinito.

A continuación, el Axioma de Elección $(\AC)$ (existencia de transversales/conjuntos de elección), existencia de selectores y los enunciados equivalentes más famosos: el Principio de Buena Ordenación y el Lema de Zorn (aunque pienso que el Principio Maximal de Hausdorff es muchísimo mejor que este último).

18 de abril

[Primera parte] [Segunda parte] [Pizarra] [Versión del día del apunte]

En la primera parte probamos que la unión de una familia acotada de conjuntos acotados (en cardinal) también respeta la misma cota: $|\calF|\leq \kappa \land \forall A\in \calF\, (|A|\leq \kappa) \implies |\union\calF|\leq \kappa$ (con $\kappa$ infinito). Sin embargo, no es siempre cierto con la desigualdad estricta. El concepto involucrado es el de cofinalidad.

En la segunda parte probamos un lema de factorización de funciones cofinales, que condensa el único argumento por inducción/recursión requerido para hacer funcionar la maquinaria de cofinalidad. Luego todas las pruebas se siguen de manera “algebraica” o estudiando desigualdades (cosa que recién pudimos ver de manera ordenada durante la primera parte de la siguiente clase, por lo cual sugiero evitar el fragmento entre los minutos 29:18 y 44:15 de esta parte). También vimos muy rápidamente cómo queda este material formalizado en computadora, usando el asistente de pruebas Isabelle (ver la teoría Cofinality.thy).

21 de abril

[Primera parte] [Segunda parte] [Versión del día del apunte]

En la primera parte enunciamos una versión más precisa del Lema de Factorización y revisamos la prueba del Lema 5.12 del apunte, que no había quedado presentada de manera muy clara la vez pasada, y con ello pudimos probar todas las propiedades básicas de la función cofinalidad (que es idempotente y devuelve un cardinal).

En la segunda parte demostramos el Teorema de König, cuya versión $\cf(\ka^\la)\gt\la$ implica que $\R$ no es una unión contable de conjuntos de cardinal más chico; en particular, $2^{\ale0} \neq \ale\om$. Luego graficamos el comportamiento de la función de cofinalidad $\cf$ para los primeros ordinales, definimos cardinales inaccesibles y comentamos sobre las discusiones sobre su uso en demostraciones famosas. En el Altillo de Cantor pueden encontrar más nociones de cosas grandes.

25 de abril

[Primera parte] [Segunda parte] [Versión del día del apunte]

En la primera parte, presentamos dos “invariantes” cardinales (características del continuo) relacionados con sendas presentaciones de los reales: el cardinal de acotación $\bound$ para ${}^{\om}\om$ y el de familias casi disjuntas $\mad$ para $\Pow(\om)$. Todos estos cardinales están entrelazados por la idea de comparar objetos “módulo finito”.

En la segunda parte demostramos el Teorema de Solomon $\bound\leq\mad$. S. Shelah probó que es consistente que $\bound\lt\mad$, y así se demostraron muchos resultados de indecidibilidad. Por esta razón se creía que para los números de pseudointersección $\mathfrak{p}$ y el de torre $\mathfrak{t}$ (para los cuales se sabía clásicamente que $\mathfrak{p}\leq\mathfrak{t}$) sucedía lo mismo. Pero muy recientemente, Maryanthe Malliaris y Shelah demostraron que son iguales, resolviendo un problema de la combinatoria infinita abierto desde el resultado parcial $\mathfrak{p}=\ale{1} \implies \mathfrak{t} = \ale{1}$ de Rothberger (1948). Para un comentario sobre este teorema, pueden ver aquí y sus referencias y enlaces (incluyendo un post por el medallista Fields Timothy Gowers). También hay un artículo de divulgación sobre el tema en Quanta Magazine. Notar que la definición que di de $\tower$ está rara (o mal directamente), pero la pueden ver en el apunte o las referencias de arriba.

La investigación de las características cardinales sigue vigente. En 2019 se festejó el 50 aniversario del Toronto Set Theory Seminar con un congreso en el Fields Institute y, por ejemplo, hubo una charla sobre problemas recientemente resueltos sobre aquéllas.

28 de abril

[Primera parte] [Segunda parte] [Versión del día del apunte]

Durante la primera parte introducimos el lenguaje utilizado para trabajar con nociones de forzamiento (o “forcing posets”) como una herramienta para construir un objeto a partir de aproximaciones al mismo. El objeto a construir se codifica como un filtro del poset y el Lema de Rasiowa y Sikorski dice que existe siempre que se trabaje con un número contable de restricciones.

En la segunda parte presentamos el Axioma de Martin $\MA$, que es un fortalecimiento consistente de Rasiowa-Sikorski. Como una aplicación, probamos que $\MA\implies\bound = 2^{\ale{0}}$ utilizando el forcing de Hechler. Hay muchísimas más, algunas de ellas compiladas en las 300 páginas del libro de Fremlin (hay un resumen en Zentralblatt). La más importante es que $\MA + \neg\CH$ implica la Hipótesis de Suslin.

2 de mayo

[Primera parte] [Segunda parte] [Versión del día del apunte]

Durante la primera parte estudiamos filtros sobre un conjunto $X$, que se asimilan la familia de subconjuntos “grandes” de $X$. Una propiedad clave es la de que una intersección infinita de conjuntos grandes sea grande, como en el caso de los conjuntos medibles Lebesgue de medida $1$ en el intervalo unitario real.

En la segunda parte, presentamos el filtro $\Club(\kappa)$, con $\kappa$ regular incontable, para el cual la noción de tamaño es el “espesor en el infinito”. Vimos que es cerrado por intersección de tamaño menor que $\kappa$ y motivamos otra importante propiedad de clausura con la pregunta “Supongamos que $G = \lb \omega_1, \cdot\rb$ es un grupo. ¿Cuántos segmentos iniciales de $\omega_1$ son subgrupos de $G$?”.

En la próxima clase probaremos que la respuesta a pregunta anterior es “para un conjunto de medida $1$ de segmentos iniciales”, con la interpretación adecuada.

5 de mayo

[Primera parte] [Segunda parte] [Versión del día del apunte]

Durante la primera parte probamos el Lema de Fodor, que en particular implica que no hay función inyectiva $f:\Lim\cap\om_1 \to \om_1$ que cumpla que $f(\al)\lt\al$ para todo $\al\in\Lim\cap\om_1$ (más aún, alguna preimagen $f^{-1}(\beta)$ debe tener “medida positiva”). Luego presentamos los cardinales de Mahlo, que se aprovechan de las nociones vistas de conjunto estacionario para trascender el proceso de enumerar cardinales inaccesibles de mayores órdenes.

En la segunda parte presentamos el problema de la medida de Banach, y enunciamos la solución que obtuvo Ulam, que introduce el concepto de cardinal medible a valores reales (mvr). Probamos que estos últimos son regulares.

9 de mayo

[Primera parte] [Segunda parte] [Versión del día del apunte]

En la primera parte, probamos que si $\kappa$ es el menor cardinal que admite una medida no trivial, y ésta no tiene átomos, entonces $\ka\leq 2^{\ale{0}}$.

En la segunda parte, vimos que los cardinales mvr son límites (y por ende débilmente inaccesibles; feat. “construcción por dibujo de una matriz de Ulam”), introdujimos los cardinales medibles y probamos que son inaccesibles. Sobre el final intentamos dar una idea de su magnitud, citando resultados que se prueban usando ultrafiltros normales.

La consistencia (no contradicción) de la existencia de los cardinales medibles se puede probar a partir de suponer la consistencia de que exista una extensión de la medida de Lesbegue a todo $\Pow(\R)$ (preservando $\sigma$-aditividad, pero no invariancia por traslaciones, por Vitali). Pero si uno resigna la parte relevante de $\AC$, se obtienen las siguientes equivalencias:

ZF + DC + measurability (Shelah)

Solovay demostró $\mathrm{Con}(1) \implies \mathrm{Con}(5)$, y hubiera querido eliminar la hipótesis del inaccesible. Pero luego Shelah (reprint, versión fácil?) probó que era necesaria. Los cardinales grandes se esconden donde uno/a menos lo espera. (Nota: para saber lo que es un conjunto $\boldsymbol{\Sigma}^1_3$, pueden estudiar Teoría de Conjuntos Descriptiva).

12 de mayo

[Primera parte] [Segunda parte] [Versión del día del apunte]

En la primera parte discutimos sobre la dificultad de definir la clausura transitiva $R^*$ de una relación de clase arbitraria $R$, lo que motiva un problema elemental interesante: Si $R$ es bien fundada, probar que $R\circ R$ lo es. La solución intuitiva apela a $\AC$. ¿Hay otra solución elemental que no?. Esto derivó en una breve discusión sobre modelos de la Teoría de Conjuntos y la distinción entre nociones externas e internas. A continuación probamos que $R^*$ es efectivamente transitiva e incluye a $R$.

En la segunda parte, probamos que los segmentos iniciales de $R^*$ son conjuntos si los de $R$ lo son, demostramos el Teorema de Inducción Bien Fundada y dimos una indicación de la prueba de Recursión Bien Fundada.

16 de mayo

[Primera parte] [Segunda parte] [Versión del día del apunte]

En la primera parte, definimos la función rango $\rk$ asociada a una relación de clase bien fundada. A continuación, definimos la clase de los conjuntos bien fundados $\WF$ que resulta transitiva y $\in$ es bien fundada sobre ella.

En la segunda parte, segmentamos los elementos de $\WF$ según su rango, definiendo la jerarquía acumulativa de conjuntos, que tiene una definición recursiva natural. Finalmente, dimos un vistazo a la clase de los conjuntos de cardinal hereditariamente acotado. Nota: la prueba del lema que dejamos incompleto está bien en el apunte, pero era más sutil de lo que recordaba (fue completado en la primera parte de la siguiente clase).

La próxima clase nos adentraremos en la parte más lógica de la materia, en dirección a probar (entre otras cosas) la consistencia de Fundación con el resto de los axiomas. Como recomendación de lectura previa, para develar un poco los misterios de la lógica de primer orden (y fundamentos en general), vean “Set Theory” de Kunen, secciones I.1 a I.3 (pp. 5–19). Lo central está entre I.1.1 y I.2 inclusive, pero el resto es a mi criterio o bien muy interesante o atañe directamente a la presentación del material como lo estamos viendo. Por otro lado, lo que veremos en las siguientes clases proviene de I.15 (hasta I.15.18), I.16 y el capítulo II, prosiguiendo hasta II.4.3.

19 de mayo

[Primera parte] [Segunda parte] [Versión del día del apunte]

En la primera parte completamos la prueba del Lema 9.15(1) del apunte, y a continuación introdujimos rápidamente y de manera informal los elementos de la Teoría de Modelos; en particular la noción de modelo, de fórmula de primer orden y la relación de satisfacción entre los mismos.

En la segunda parte, conectamos lo anterior con el problema de probar que algún axioma de la Conjunteoría sea independiente o consistente de los otros, lo cual nos llevó a la obstrucción fundamental dada por el 2do Teorema de Incompletitud de Gödel. Concluimos presentando los modelos transitivos, que serán los protagonistas de las siguientes clases. (Feat. “tiza invisible” en minuto 30'!).

23 de mayo

[Primera parte] [Segunda parte] [Versión del día del apunte]

Durante la primera parte repasamos la noción de satisfacción de fórmulas $\phi$ por modelos (estándares) $A$, y vimos que su formalización en Conjunteoría $A\models \quine{\phi}$ equivale a otra fórmula $\phi^A$, su relativización. También comentamos sobre la noción de prueba en lógica de primer orden.

En una mitad de la segunda parte, explicamos cómo se obtienen pruebas de consistencia relativa finitarias, siendo nuestro objetivo inmediato probar la implicación $\mathrm{Con}(\ZF^-) \implies \mathrm{Con}(\ZF)$, usando un ejemplo de juguete. En el curso de este ejemplo probamos que toda clase transitiva satisface el Axioma de Extensionalidad. En la segunda mitad de esta parte, probamos que las “fórmulas $\Delta_0$” son absolutas para modelos de clase transitivos, i.e., su significado no cambia al pasar a una clase transitiva. (En 45'30'' se puso inestable la conexión, pero de todos modos 1' después repito un poco el argumento, que de todos modos figura claro en el apunte, Lema 11.13).

25 de mayo
Primer gobierno patrio.
26 de mayo

[Primera parte] [Segunda parte] [Versión del día del apunte]

Durante la primera parte de esta clase ligeramente resfriada, hicimos un repaso de la clase pasada (sugiero omitir el fragmento entre 4'36'' y 13'26'', donde quise recordar una propiedad que recién pude concretar al comienzo de la segunda parte). Luego probamos una condición suficiente sobre una clase $M$ para que valga Separación en ella, y enunciamos un resultado análogo para Reemplazo.

En la segunda parte, definimos la relativización y absolutez de relaciones y funciones de clase (mediante la relativización de las fórmulas que las definen). Si bien la función $\Pow$ no es absoluta, el ejemplo que propongo entre 18' y 24'30'' no es adecuado porque no se puede definir $\Pow^M$ para $M= H(\ale{1})$ (y a la vez, la fórmula “$z$ es el conjunto de partes de $x$” sí es absoluta para $H(\ale{1})$, como se verá sobre el final de esta parte de la clase del 2 de junio). A continuación, relacionamos intuitivamente la absolutez de funciones y relaciones con la noción de submodelo de la lógica y el álgebra, y concluimos probando que los conceptos de vacío, par, unión binaria son absolutos para clases transitivas que satisfacen los axiomas relevantes de $\ZF^{-}-P$.

30 de mayo

[Primera parte] [Segunda parte] [Versión del día del apunte]

Durante la primera parte vimos que las definiciones de relativización y absolutez de funciones de la clase pasada verdaderamente se corresponden con los respectivos conceptos que sólo aplicaban a fórmulas en el lenguaje $\{\in\}$, utilizando como ejemplo conductor a la función de partes $\Pow$. Luego vimos que la generalizaciones a lenguajes más ricos de las fórmulas $\Delta_0$ son absolutas entre modelos transitivos (para los que las relaciones y funciones del lenguaje sean absolutas).

Comenzamos la segunda parte enunciando un lema (trivial) de validez de Pares y Unión en una clase, y con eso terminamos de probar que, bajo $\ZFC^-$, $\WF$ satisface $\ZFC$ y luego tenemos la consistencia relativa de Fundación. El resto de la clase se dedicó a resultados técnicos auxiliares para obtener más resultados de absolutez, a saber:

  • fórmulas $\Pi_1$ (preservadas “hacia abajo”);
  • fórmulas $\Sigma_1$ (preservadas “hacia arriba”);
  • fórmulas $\Delta_1$ (absolutas para modelos transitivos); y
  • modelos $M$ cerrados por una función definida por fórmula $\Pi_1$, con unicidad en $M$.
2 de junio

[Primera parte] [Segunda parte] [Versión del día del apunte]

Durante la primera parte probamos en $\ZFC^-$ que para $\kappa\gt\omega$ regular, $H(\kappa)$ es modelo de $\ZFC-P$ y que $H(\ale{1})$ satisface “$\Pow(\omega)$ no existe”. Es decir, el Axioma de Partes es necesario para probar la existencia de conjuntos incontables.

En la segunda parte vimos que los más importantes conceptos de cardinalidad son absolutos para clases transitivas cerradas por $\Pow$. Con esto se deduce que $H(\kappa)\models \ZFC$ si $\kappa$ es inaccesible, y la consistencia relativa de $\ZFC + {}$“no existen cardinales inaccesibles”. Con estas herramientas, el 2do Teorema de Incompletitud de Gödel nos muestra que no se puede probar la implicación $\mathrm{Con}(\ZFC) \implies \mathrm{Con}(\ZFC+{}$“existe un inaccesible”$)$. Cerramos la clase discutiendo sobre modelos de $\ZFC + \neg\mathrm{Con}(\ZFC)$.

6 de junio

[Primera parte] [Segunda parte] [Versión del día del apunte]

Durante la primera parte, repasamos nuevamente la noción de modelo de una teoría de primer orden, y luego nos enfocamos en el caso de interés: el lenguaje $\calL = \{\underline{\in}\}$ y la teoría $\ZFC$. Enunciamos el Teorema de Compacidad y mostramos cómo se sigue del Teorema de Completitud de Gödel, y como una aplicación vimos cómo se construye un modelo $\lb A, E\rb$ de $\ZFC$ (¡incluyendo Fundación!) tal que la relación $E$ no es bien fundada sobre $A$. Luego mostramos que todo modelo donde $E$ sí es bien fundada es isomorfo a uno transitivo (donde $A$ lo es y $E = {\in}\restr A$) mediante la función de colapso de Mostowski. Finalmente hicimos comentarios informales sobre el concepto de ultraproducto y sus aplicaciones sobresalientes; entre ellas, el Teorema de Keisler-Shelah (Corollary 10.8 en esta monografía), que permite “algebrizar” la noción de equivalencia lógica entre modelos.

En la segunda parte formalizamos la definición como un cociente apropiado de un producto directo, y vimos algunos casos de la prueba inductiva del Teorema de Łoś, que dice cuándo un fórmula de primer orden se satisface en el ultraproducto. Luego mostramos que el mapa “diagonal” $j:\mathbf{A} \to \mathbf{A}^I/\calU$ es una incrustación elemental.

9 de junio

[Primera parte] [Segunda parte] [Versión del día del apunte]

Durante la primera parte vimos cómo el truco de Scott permite tomar cocientes para relaciones de equivalencia de clase, y con ello formalizar la noción de ultrapotencia de $V$. Que tal ultrapotencia sea isomorfa a una clase transitiva requiere un ultrafiltro $\sigma$-completo, lo que implica la existencia de un cardinal medible.

En la segunda parte, trabajamos con el colapso de Mostowski $M$ de una ultrapotencia $V^\kappa/\calU$ con $\kappa$ medible. Probamos que la composición $\mos \circ j : V \to M$ es constante sobre los ordinales menores que $\kappa$ pero este último es crítico, es el primer ordinal movido por ella. Esta propiedad, más la elementalidad de dicha incrustación, es lo que mostrará que los cardinales medibles son mucho mayores que las otras nociones que vimos de cardinales grandes.

13 de junio

[AFA 1] [AFA 2] [Filminas] [Generalización de Mostowski]

Esta clase fue presentada por Matías Steinberg, basada en Notes on Set Theory de Y. Moschovakis.

Durante la primera parte, se vieron los conceptos de bisimulación y bisimilitud sobre grafos dirigidos punteados, y sirvieron de motivación para el Axioma de Antifundación (AFA) de Aczel. También se vio cómo una aplicación de AFA permite generalizar resultados que sólo se daban para grafos bien fundados (que la función de colapso de Mostowski o decorador es un selector para la relación de bisimilitud).

En la segunda parte, se introdujo la maquinaria de los universos de Rieger, se dio una indicación de que los mismos son modelos de $\ZFC^-$ y se construyó uno particular, el universo de Aczel, cuyos elementos son clases (de Scott) de bisimilitud de grafos punteados sobre conjuntos bien fundados. El universo de Aczel satisface AFA.

16 de junio

[Reflexión 1] [Reflexión 2]

Esta clase fue presentada por Juan Lascano.

Durante la primera parte, se hizo un repaso de las propiedades sobresalientes de los $R(\alpha)$ y luego se demostró el Principio de Reflexión, combinando las presentaciones de ambos Kunen.

En la segunda parte se discutieron algunos corolarios notables: la paradoja de Skolem, que observa que hay un modelo (estándar) transitivo contable de suficiente $\ZFC$ para probar “Existe un conjunto incontable” (y mucho más), pero que todos sus elementos son contables; y que $\ZFC$ no se puede axiomatizar finitamente.

23 de junio

[Árboles 1] [Árboles 2]

Esta clase, la última del cuatrimestre, fue presentada por Gervasio Figueroa.

Durante la primera parte, se presentaron las definiciones básicas de árboles y se presentó el problema de Suslin sobre una caracterización alternativa de la recta real como conjunto ordenado.

El la segunda parte se definieron los árboles de Suslin y se probó que la existencia de una recta de Suslin (un contraejemplo a la caracterización de arriba) implica la existencia de un árbol homónimo.

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